Для доказательства данного тождества начнем с раскрытия числителя и знаменателя.

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ

cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ

cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ

Теперь подставим выражения для sin(α+β), sin(α-β), cos(α+β), cos(α-β) в исходное тождество:

(sinαcosβ + cosαsinβ + sinαcosβ - cosαsinβ) / (cosαcosβ - sinαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ) = tgα

Упростим числитель и знаменатель:

2sinαcosβ / 2cosαcosβ = tgα

sinα / cosα = tgα

Таким образом, тождество (sin(α+β)+sin(α-β))/(cos(α+β)+cos(α-β)) = tgα доказано.