Замыкание множества X обозначается как $\overline{X}$ и определяется как пересечение всех замкнутых множеств, содержащих X.

Для любого множества X в метрическом пространстве его замыкание $\overline{X}$ также является замкнутым множеством. Действительно, рассмотрим произвольную точку x из границы множества $\overline{X}$. Это означает, что для любого шара B(x, r) с центром в x и радиусом r > 0 существует точка y из $\overline{X} \cap B(x, r)$.

Так как y принадлежит $\overline{X}$, то для любого шара B(y, r) с центром в y и радиусом r > 0 существует точка z из X, так как шар B(y, r) содержит некоторую точку из X. Поскольку шар B(y, r) также содержится в шаре B(x, r), то точка z также содержится в B(x, r). Это означает, что для любой точки x из границы множества $\overline{X}$ найдется точка из $\overline{X}$, лежащая в шаре с центром в x и радиусом r > 0. Следовательно, любая точка граничной точки $\overline{X}$ является предельной точкой $\overline{X}$, что и означает замкнутость множества $\overline{X}$.

Таким образом, замыкание произвольного множества X в метрическом пространстве является замкнутым множеством.