На промежутке [5π/2; 7π/2] значения синуса лежат в диапазоне от -1 до 1. После переноса √3sinx влево и сокращения, получаем sin2x = -√3sinx.

Теперь подставим x = + - 5π/6 + 2πk в уравнение sin2x+√3*sinx=0:

sin(2(+ - 5π/6 + 2πk)) + √3*sin(+ - 5π/6 + 2πk) = 0,

sin(5π/3 + 4πk) + √3*sin(5π/6 + 2πk) = 0,

cos(4πk) + √3*cos(2πk) = 0,

cos(4πk) + 2∗cos(π/3)*cos(2πk) = 0,

cos(4πk) + cos(2πk) = 0.

Подставляем k=1 получаем cos(4π) + cos(2π) = 1 + 1 = 2 ≠ 0.

Аналогичным образом проверяем случай k=0 и k=-1.

Поэтому на промежутке [5π/2; 7π/2] уравнение sin2x+√3*sinx=0 не имеет корней, соответствующих условию x=пk, k ∈ Z.