Решение уравнения 2cos^2x - sinx - 1 = 0:

Перепишем уравнение в виде 2(1 - sin^2x) - sinx - 1 = 0.
Заменим sinx = t, получим 2(1 - t^2) - t - 1 = 0.
Раскроем скобки: 2 - 2t^2 - t - 1 = 0,
-2t^2 - t + 1 = 0.
Решим квадратное уравнение: t = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(-2)1)) / 2*(-2) = (1 ± √9) / (-4) = (-1 ± 3) / (-4).

t1 = 2/ -4 = -1/2.t2 = -4 / -4 = 1.

Таким образом, sinx = -1/2 или 1. Решениями уравнения будут x = 2π/3 + 2πn, x = π/2 + 2πn, x = π + 2πn, где n - целое число.

Доказательство, что функция у=(2х+5)^10 удовлетворяет соотношению 8000у(2х+5)^17-(у')^3=0:

У нас дана функция y = (2x + 5)^10. Найдем производную этой функции по x:
y' = 10(2x + 5)^9 * 2 = 20(2x + 5)^9.

Подставим найденные значения в данное уравнение:
8000(2x + 5)^10 * (2x + 5)^17 - (20(2x + 5)^9)^3 = 0,
8000(2x + 5)^27 - 8000(2x + 5)^27 = 0.

Таким образом, уравнение верно.

Найдем знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех её последующих членов:

Пусть знаменатель прогрессии равен q, а первый член равен a.
Тогда, согласно условию, a = 6(q / (1 - q)).

Также, так как прогрессия убывающая, то |q| < 1.
Из условия суммы бесконечно убывающей прогрессии:
S = a / (1 - q) = 6(q / (1 - q)) / (1 - q) = 6q.

Таким образом, q = 1/6.
Значит, знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 1/6.