Для нахождения значения производной в точке (x_{0} = 0) нужно найти производную функции (f(x) = 4x^{2} + 6x + 3) и подставить в нее значение (x = 0).

Производная функции (f'(x)) вычисляется по формуле (f'(x) = 8x + 6).

Теперь подставим значение (x = 0) в формулу производной:

[f'(0) = 8 \cdot 0 + 6 = 6]

Таким образом, значение производной функции в точке (x_{0} = 0) равно 6.