Обозначим высоту пирамиды как h.

Так как пирамида является правильной, то высота опускается из вершины ребра основания и перпендикулярна ему. Таким образом, треугольник с боковым ребром, высотой и половиной основания является прямоугольным.

Из условий задачи:
((\frac{1}{2} \cdot 4)^2 + h^2 = (\sqrt{17})^2)
(2^2 + h^2 = 17)
(4 + h^2 = 17)
(h^2 = 13)
(h = \sqrt{13})

Теперь объём пирамиды можно найти по формуле:
(V = \frac{1}{3} \cdot S{\text{осн}} \cdot h),
где (S{\text{осн}}) - площадь основания пирамиды.

Так как пирамида является четырёхугольником, то её основание - квадрат, со стороной 4. Следовательно, (S_{\text{осн}} = 4^2 = 16).

Таким образом, подставляя найденные значения, получаем:
(V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot \sqrt{13} = \frac{16\sqrt{13}}{3}).

Итак, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен (\frac{16\sqrt{13}}{3}).