1/x + 1/y = 5/6
1/x - 1/y = 1/6

Первое уравнение домножим на 6:
6/x + 6/y = 5

Второе уравнение домножим на 6:
6/x - 6/y = 1

Теперь сложим оба уравнения:
6/x + 6/y + 6/x - 6/y = 5 + 1
12/x = 6
x = 2

Теперь найдем y, подставив x=2 в любое исходное уравнение, например, в первое:
1/2 + 1/y = 5/6
1/y = 5/6 - 1/2
1/y = 5/6 - 3/6
1/y = 2/6
y = 3

Итак, решение системы уравнений: x = 2, y = 3.