Для начала проверим верность утверждения для базового случая, т.е. когда $n=1$.

$15^1=15$ и остаток от деления 15 на 7 равен 1.

Теперь предположим, что утверждение верно для $n=k$, т.е. $15^k = 7m + 1$, где $m$ - целое число.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$:

$15^{k+1} = 15^k \cdot 15 = (7m + 1) \cdot 15 = 105m + 15 = 7(15m + 2) + 1$

где $15m+2$ также является целым числом.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно будет верно и для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, деление произвольной натуральной степени 15 на 7 дает 1 остаток.