Для начала найдем целые решения каждого из неравенств:

1) 3x - 6 > 0
3x > 6
x > 2
Целые решения: x = 3, 4, 5, ...

2) 4x - 24 ≤ 0
4x ≤ 24
x ≤ 6
Целые решения: x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Таким образом, сумма целых решений системы неравенств будет равна:
3 + 4 + 5 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 33

Сумма целых решений данной системы неравенств равна 33.