Рассмотрим произвольный тетраэдр $ABCD$ и его высоты $h_1$, $h_2$, $h_3$ и $h_4$.

Пусть высоты $h_1$ и $h_2$ пересекаются, то есть точка их пересечения обозначим как $O$.

Так как $h_1$ и $h_2$ пересекаются, то $O$ лежит на обеих этих высотах. Из свойств высот следует, что $OA\perp h_1$ и $OA\perp h_2$, а значит $OA$ перпендикулярен поверхностям $h_1$ и $h_2$, следовательно, $OA$ является высотой треугольника $ABC$.

Аналогично, можно показать, что высота $h_3$ также проходит через точку $O$. Таким образом, высоты $h_1$, $h_2$ и $h_3$ пересекаются в одной точке $O$.

Итак, мы показали, что если две высоты в произвольном тетраэдре пересекаются, то две другие его высоты тоже пересекаются.