Пусть двузначное число имеет вид 10a + b, где a и b - цифры числа.

Учитывая условие, получаем систему уравнений:
1) 10a + b = 3(a + b)
2) a^2 + b^2 = 53

Решим данную систему:
Из первого уравнения получаем: 7a = 2b => a = 2b/7
Подставим a во второе уравнение:
(2b/7)^2 + b^2 = 53
4b^2/49 + b^2 = 53
(4b^2 + 49b^2)/49 = 53
53b^2 = 53*49
b^2 = 49
b = 7

Таким образом, b = 7

Подставим b = 7 в первое уравнение:
10a + 7 = 3(a + 7)
10a + 7 = 3a + 21
7a = 14
a = 2

Таким образом, a = 2

Итак, двузначное число равно 27. Квадрат числа 27 равен 27^2 = 729.

Ответ: 729.