Данное неравенство можно доказать с помощью неравенства Коши-Буняковского:

(√a^3 + √b^3)(√a + √b^3) ≥ (a^2 + b^2)^2

Раскроем скобки:

a√a + b√b + a√b^3 + b^2√a^3 ≥ (a^2 + b^2)^2

Так как a ≥ 0, b ≥ 0, то √a + √b ≥ 0 и √a^3 + √b^3 ≥ 0, следовательно, неравенство выполняется.

Равенство будет достигаться при a = b.

Итак, неравенство (a^3 + b)(a + b^3) ≥ 4a^2b^2 верно для всех неотрицательных a и b, и равенство достигается при a = b.