Для нахождения пятого члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой:

[ a_n = a_1 + (n-1)d ]

где ( a_n ) - значение n-го члена прогрессии, ( a_1 ) - первый член прогрессии, ( d ) - разность прогрессии, ( n ) - номер члена прогрессии.

Из условия известно, что второй член прогрессии равен 2:

[ a_2 = a_1 + d = 2 ]

Также известно, что восьмой член прогрессии равен -10:

[ a_8 = a_1 + 7d = -10 ]

Теперь составим систему уравнений:

[ \begin{cases} a_1 + d = 2 \ a_1 + 7d = -10 \end{cases} ]

Выразим из первого уравнения ( a_1 ):

[ a_1 = 2 - d ]

Подставим это значение во второе уравнение:

[ 2 - d + 7d = -10 ]

[ 6d = -12 ]

[ d = -2 ]

Теперь найдем первый член прогрессии:

[ a_1 = 2 - (-2) = 4 ]

Наконец, найдем пятый член прогрессии:

[ a_5 = 4 + 4*(-2) = -4 ]

Итак, пятый член арифметической прогрессии равен -4.