Для решения данного интеграла используем метод интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du

Пусть u = x^3, тогда du = 3x^2dx

Пусть dv = e^(2x)dx, тогда v = (1/2)e^(2x)

Интеграл станет:

∫x^3e^(2x)dx = (1/2)x^3e^(2x) - ∫(1/2)e^(2x)3x^2dx

Рассчитываем второй интеграл:

∫(1/2)e^(2x)*3x^2dx = (3/2)∫x^2e^(2x)dx

Повторяем процесс интегрирования по частям для нового интеграла:

Пусть u = x^2, тогда du = 2xdx

Пусть dv = e^(2x)dx, тогда v = (1/2)e^(2x)

Интеграл станет:

(3/2)∫x^2e^(2x)dx = (3/2)((1/2)x^2e^(2x) - ∫(1/2)e^(2x)*2xdx)

Рассчитываем второй интеграл:

∫(1/2)e^(2x)*2xdx = ∫xe^(2x)dx

Снова интегрируем по частям:

Пусть u = x, тогда du = dx

Пусть dv = e^(2x)dx, v = (1/2)e^(2x)

Интеграл:

∫xe^(2x)dx = (1/2)xe^(2x) - ∫(1/2)e^(2x)dx

Подставляем все полученные результаты обратно и вычисляем окончательный интеграл:

∫x^3e^(2x)dx = (1/2)x^3e^(2x) - (3/4)x^2e^(2x) + (3/4)xe^(2x) - (3/8)e^(2x)

Вычисляем значение интеграла в пределах от 0 до 1:

Подставляем верхний и нижний пределы:

I = [(1/2)(1)^3(e^2) - (3/4)(1)^2(e^2) + (3/4)(1)(e^2) - (3/8)(e^2)] - [(1/2)(0)^3(e^0) - (3/4)(0)^2(e^0) + (3/4)(0)(e^0) - (3/8)(e^0)]

I = [(1/2)e^2 - (3/4)e^2 + (3/4)e^2 - (3/8)e^2] - [0 - 0 + 0 - (3/8)]

I = [(1/2)e^2 - (3/4)e^2 + (3/4)e^2 - (3/8)e^2] + (3/8)

I = [(1/2)e^2 - (3/2)e^2] + (3/8)

I = (-1)e^2 + (3/8)

Итак, значение интеграла ∫x^3*e^(2x)dx в пределах от 0 до 1 равно -e^2 + (3/8).