Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = x / (x^2 + 1) производная функции может помочь нам.

Сначала найдем производную функции y:

y' = [(x^2 + 1)1 - x(2x)] / (x^2 + 1)^2
= (x^2 + 1 - 2x^2) / (x^2 + 1)^2
= (1 - x^2) / (x^2 + 1)^2

Теперь нам нужно найти точки, где производная равна нулю:

1 - x^2 = 0
x^2 = 1
x = ±1

Таким образом, экстремумы функции будут точками (1, 1) и (-1, -1).

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, можно взять тестовые значения для x в интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (1, +∞) и проверить знак производной в этих интервалах.

При x = -2, например, y' = (1 - (-2)^2) / ((-2)^2 + 1)^2 = (1 - 4) / 25 = -3 / 25 < 0, значит функция убывает на интервале (-∞, -1).

При x = 0, y' = 1 / 1^2 = 1 > 0, значит функция возрастает на интервале (-1, 1).

При x = 2, y' = (1 - 2^2) / (2^2 + 1)^2 = (1 - 4) / 25 = -3 / 25 < 0, значит функция убывает на интервале (1, +∞).

Итак, промежутки возрастания функции: (-1, 1).
Промежутки убывания функции: (-∞, -1) и (1, +∞).
Экстремумы функции: (1, 1) и (-1, -1).