Пусть точка M равноудалена от точек A и B и лежит на отрезке AB. Поскольку прямая n проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему, то она также содержит точку M.

Предположим теперь, что точка M равноудалена от точек A и B, но находится вне отрезка AB. Обозначим за N точку на отрезке AB, являющуюся серединой его продолжения в сторону точки M. Поскольку отрезок AN равен отрезку BN (так как AM = BM), а угол ABN прямой, а значит и угол MBN, то треугольник ABN равнобедренный. Значит, точки M и N совпадают, и точка M лежит на прямой n.

Таким образом, каждая точка, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой n.