Для нахождения производной данной функции ( \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} ), сначала нужно переписать ее в виде ( \frac{1}{1 - \cos x} + \frac{\cos x}{1 - \cos x} ).

Затем применим правило дифференцирования суммы:

[
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 - \cos x} + \frac{\cos x}{1 - \cos x} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 - \cos x} \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{1 - \cos x} \right)
]

Для нахождения производной каждого из слагаемых применим правило дифференцирования частного:

[
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 - \cos x} \right) = \frac{0 - (-\sin x)}{(1 - \cos x)^2}
]

[
\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{1 - \cos x} \right) = \frac{-\sin x(1 - \cos x) - \cos x(0 - \sin x)}{(1 - \cos x)^2}
]

Соберем выражение вместе:

[
= \frac{\sin x}{(1 - \cos x)^2} + \frac{\sin x - \cos^2 x}{(1 - \cos x)^2}
]

[
= \frac{\sin x + \sin x - \cos^2 x}{(1 - \cos x)^2}
]

[
= \frac{2\sin x - \cos^2 x}{(1 - \cos x)^2}
]

Поэтому производная функции ( \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} ) равна ( \frac{2\sin x - \cos^2 x}{(1 - \cos x)^2} ).