Для решения данной задачи нам нужно использовать следующий факт: медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине её длины, а высота, проведенная к гипотенузе, равна третьей части её длины.

Пусть а и b - катеты, а c - гипотенуза. Тогда высота проведенная к гипотенузе равна h = (ab / c), а медиана проведенная к гипотенузе равна m = 0.5с.

Исходя из условий задачи, у нас есть уравнения:
h = 12,
m = 13.

Тогда получаем систему уравнений:
ab / c = 12,
0.5c = 13.

Из второго уравнения находим c = 26 см.

Подставляем c в первое уравнение и находим ab = 312.

Теперь можем найти периметр треульника:
P = a + b + c.

Так как известно, что ab = 312, то можем выразить одну из переменных через другую:
b = 312 / a.

Подставляем это выражение в площадь прямоугольного треугольника:
a(312 / a) = 12c.
312 = 12a.
a = 26 см.

Подставляем значение a обратно и находим b = 12 см.

Теперь находим периметр:
P = a + b + c = 26 + 12 + 26 = 64 см.

Ответ: периметр прямоугольного треугольника равен 64 см.