Для доказательства данного неравенства, будем исходить из того, что а > 0.
Умножим обе части неравенства на a^2, чтобы избавиться от знаменателя: 2a^3 + 1 > 3a^2
Выразим все слагаемые в левой части через a^2: 2a^3 - 3a^2 + a^2 + 1 > 0 a^22a−32a - 32a−3 + 1 > 0
Теперь рассмотрим два случая:
1) Если 0 < a < 1: Так как а > 0, то a^2 > 0. При этом в данном промежутке 2a < 2, а значит 2a - 3 < -1. Исходя из этого, a^22a−32a - 32a−3 < 0. Так как к этому отрицательному выражению добавляем положительное число 1, то получаем, что выражение вида a^22a−32a - 32a−3 + 1 > 0, что означает выполнение неравенства.
2) Если a > 1: Так как а > 0, то a^2 > 1. При этом в данном промежутке 2a > 2, а значит 2a - 3 > -1. Исходя из этого, a^22a−32a - 32a−3 > 0. Так как к этому положительному выражению добавляем положительное число 1, то получаем, что выражение вида a^22a−32a - 32a−3 + 1 > 0, что означает выполнение неравенства.
Таким образом, неравенство 2a + 1/a^2 > 3 выполняется при a > 0.
Для доказательства данного неравенства, будем исходить из того, что а > 0.
Умножим обе части неравенства на a^2, чтобы избавиться от знаменателя:
2a^3 + 1 > 3a^2
Выразим все слагаемые в левой части через a^2:
2a^3 - 3a^2 + a^2 + 1 > 0
a^22a−32a - 32a−3 + 1 > 0
Теперь рассмотрим два случая:
1) Если 0 < a < 1:
Так как а > 0, то a^2 > 0. При этом в данном промежутке 2a < 2, а значит 2a - 3 < -1. Исходя из этого, a^22a−32a - 32a−3 < 0. Так как к этому отрицательному выражению добавляем положительное число 1, то получаем, что выражение вида a^22a−32a - 32a−3 + 1 > 0, что означает выполнение неравенства.
2) Если a > 1:
Так как а > 0, то a^2 > 1. При этом в данном промежутке 2a > 2, а значит 2a - 3 > -1. Исходя из этого, a^22a−32a - 32a−3 > 0. Так как к этому положительному выражению добавляем положительное число 1, то получаем, что выражение вида a^22a−32a - 32a−3 + 1 > 0, что означает выполнение неравенства.
Таким образом, неравенство 2a + 1/a^2 > 3 выполняется при a > 0.