Симметрический многочлен имеет корни, которые являются перестановками корней самого многочлена.

Для нахождения корней данного многочлена x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1, нужно провести несложные вычисления или использовать методы решения уравнений.

Воспользуемся методом подбора. Для этого давайте переберем значения x от -5 до 5 и найдем при каком из них значение многочлена равно нулю.

Подставим каждое значение x в многочлен и найдем корни:
При x = -1 : (-1)4 + 5(-1)3 + 2(-1)2 + 5(-1) + 1 = 1 - 5 + 2 - 5 + 1 = -6
При x = 0 : 0
При x = 1 : 1 + 5 + 2 + 5 + 1 = 14
При x = 2 : 16
При x = 3 : 81 + 527 + 29 + 153 + 1 = 81 + 135 +18 + 45 + 1 = 280
При x = 4 : 256 + 564 + 216 + 20 + 1 = 256 + 320 + 32 + 20 + 1 = 629

Таким образом, корни многочлена являются -1, 0, 1, 2, 3, и 4.