Для доказательства этого тождества воспользуемся формулами для приведения косинусов и синусов к одному аргументу:

sin^4(a) - cos^4(a)
= (sin^2(a))^2 - (cos^2(a))^2
= (sin^2(a) + cos^2(a))(sin^2(a) - cos^2(a))
= 1(sin^2(a) - cos^2(a))
= 1(sin(a) + cos(a))(sin(a) - cos(a))
= 1(sin(a)cos(a) - cos(a)sin(a))
= 1sin(a)cos(a) - 1cos(a)sin(a)
= -cos(2a)

Таким образом, sin^4(a) - cos^4(a) = -cos(2a).