Для решения уравнения sin 5x = sin 3x, можно использовать тригонометрическую формулу синуса для разности углов:

sin(a) - sin(b) = 2 cos((a+b)/2) sin((a-b)/2)

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получаем:

sin 5x - sin 3x = 2 cos((5x+3x)/2) sin((5x-3x)/2)
sin 5x - sin 3x = 2 cos(4x) sin(2x)

Заметим, что sin 5x - sin 3x также может быть выражено через разностную формулу синуса:

sin(a) - sin(b) = 2 sin((a-b)/2) cos((a+b)/2)

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим:

sin 5x - sin 3x = 2 sin((5x-3x)/2) cos((5x+3x)/2)
sin 5x - sin 3x = 2 sin(x) cos(4x)

Итак, мы получили два выражения для sin 5x - sin 3x. Приравниваем их и решаем полученное уравнение:

2 cos(4x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(4x)
cos(4x) sin(2x) = sin(x) cos(4x)
sin(2x) = sin(x)

Теперь рассмотрим различные случаи, когда sin(2x) = sin(x):

Когда x = 0, уравнение выполняется.Когда 2x = x + 2πn, где n - целое число.
Тогда x = 2πn, что также удовлетворяет уравнению.Когда 2x = π - x + 2πn, где n - целое число.
Тогда 3x = π + 2πn, что тоже удовлетворяет уравнению.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения sin 5x = sin 3x: x = 0, x = 2πn, x = π + 2πn, где n - целое число.