Для разложения функции z=arcsin(x+3y) в точке M(0;0) по формуле Тейлора до третьего порядка воспользуемся следующими формулами:

z(x,y) = z(x0,y0) + ∂z/∂x(x0,y0)(x-x0) + ∂z/∂y(x0,y0)(y-y0) + ∂^2z/∂x^2(x0,y0)(x-x0)^2/2 + ∂^2z/∂y^2(x0,y0)(y-y0)^2/2 + ∂^2z/∂x∂y(x0,y0)(x-x0)(y-y0) + ∂^3z/∂x^3(x0,y0)(x-x0)^3/6 + ∂^3z/∂y^3(x0,y0)(y-y0)^3/6 + ...R(x,y) = ∂^3z/∂x^3(c,d)(x-c)^3/6 + ∂^3z/∂y^3(c,d)(y-d)^3/6, где c и d принадлежат отрезку, соединяющему точку M и точку (x,y).

Теперь найдем необходимые частные производные и подставим значения в формулу Тейлора:

∂z/∂x = 1/sqrt(1-(x+3y)^2), ∂z/∂y = 3/sqrt(1-(x+3y)^2)
∂^2z/∂x^2 = (x+3y)/((1-(x+3y)^2)^(3/2)), ∂^2z/∂y^2 = 9(x+3y)/((1-(x+3y)^2)^(3/2)), ∂^2z/∂x∂y = -9/(1-(x+3y)^2)
∂^3z/∂x^3 = ((2(x+3y)^2 - 1)3)/((1-(x+3y)^2)^(5/2)), ∂^3z/∂y^3 = 54(x+3y)^2/(1-(x+3y)^2)^(5/2)

Теперь подставим выражения в формулу и найдем разложение до третьего порядка:

z(0,0) = 0
∂z/∂x(0,0) = 1, ∂z/∂y(0,0) = 3
∂^2z/∂x^2(0,0) = 0, ∂^2z/∂y^2(0,0) = 0, ∂^2z/∂x∂y(0,0) = -9
∂^3z/∂x^3(0,0) = 3, ∂^3z/∂y^3(0,0) = 0

Подставляя значения в формулу получаем:

Третье разложение:
z(x,y) = 0 + 1x + 3y - 0x^2/2 - 0y^2/2 - 9(-xy) + 3x^3/6 + 0y^3/6 = x + 3y - 9xy + x^3/2

Остаточный член в форме Пеано будет иметь вид:
R(x,y) = ∂^3z/∂x^3(c,d)(x-c)^3/6 + ∂^3z/∂y^3(c,d)(y-d)^3/6

где c и d принадлежат отрезку, соединяющему точку M(0;0) и точку (x,y).