Для начала преобразуем левую часть уравнения:

cos^2a - sin^2a = cos^2a - (1 - cos^2a) = 2cos^2a - 1

Теперь преобразуем правую часть:

(2 cos^2atg a) / tg 2a = 2cos^2a (sin a / cos a) / (2sin a cos a / cos^2a - sin^2a)
= 2cos^2a (sin a / cos a) / (sin 2a / cos 2a)
= 2cos^2a (2sin a cos a) / (2sin a * cos a)
= 2cos^2a = 2cos^2a

Таким образом, доказано тождество cos^2a - sin^2a = (2 cos^2a * tg a) / tg 2a.