Для начала найдем вектор AA1:
AA1 = A1 - A = (A1x - Ax)i + (A1y - Ay)j + (A1z - Az)k

Теперь найдем вектор B1C = C - B1:
B1C = C - B1 = (Cx - B1x)i + (Cy - B1y)j + (Cz - B1z)k

И найдем вектор C1D1 = D1 - C1:
C1D1 = D1 - C1 = (D1x - C1x)i + (D1y - C1y)j + (D1z - C1z)k

Теперь найдем искомый вектор:
AA1 + B1C - C1D1 = (A1x - Ax)i + (A1y - Ay)j + (A1z - Az)k + (Cx - B1x)i + (Cy - B1y)j + (Cz - B1z)k - (D1x - C1x)i - (D1y - C1y)j - (D1z - C1z)k

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
AA1 + B1C - C1D1 = (A1x - Ax + Cx - B1x - D1x + C1x)i + (A1y - Ay + Cy - B1y - D1y + C1y)j + (A1z - Az + Cz - B1z - D1z + C1z)k

Теперь у нас есть итоговый вектор, равный AA1 + B1C - C1D1, который можно записать в виде:
(A1x - Ax + Cx - B1x - D1x + C1x)i + (A1y - Ay + Cy - B1y - D1y + C1y)j + (A1z - Az + Cz - B1z - D1z + C1z)k