Для уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$, применим теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней уравнения равна отрицательному коэффициенту перед $x$ с обратным знаком, то есть $x_1 + x_2 = \frac{-(-3)}{1} = 3$.

Теперь рассмотрим выражение:
$$\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2}$$

Мы можем представить это выражение как:
$$\frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1^2 \cdot x_2^2}$$

По формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, можем записать:
$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = 3(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$$

Таким образом, выражение $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2} = \frac{3(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)}{x_1^2 \cdot x_2^2}$.

Так как у нас нет прямой зависимости между коэффициентами в нашем уравнении и выражением, мы не можем точно найти значение этого выражения без знания самих корней $x_1$ и $x_2$.