Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой сложения для синуса и косинуса:

sin(a) + sin(b) = 2sin((a + b) / 2)cos((a - b) / 2)
cos(a) + cos(b) = 2cos((a + b) / 2)cos((a - b) / 2)

Применяя эти формулы к выражению sin(2x) + sin(6x), а также cos(2x) + cos(6x), получаем:

sin(2x) + sin(6x) = 2sin((2x + 6x) / 2)cos((6x - 2x) / 2) = 2sin(4x)cos(2x)
cos(2x) + cos(6x) = 2cos((2x + 6x) / 2)cos((6x - 2x) / 2) = 2cos(4x)cos(2x)

Теперь выразим тангенс через синус и косинус и подставим полученные значения:

tg(4x) = sin(4x) / cos(4x) = (2sin(4x)cos(2x)) / (2cos(4x)cos(2x)) = sin(2x) / cos(2x) = tg(2x)

Таким образом, tg(4x) = tg(2x), что и требовалось доказать.