Для начала рассмотрим формулу сложения косинусов:
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Применим эту формулу к уравнению cos(pi/5) + cos(3pi/5):
cos(pi/5 + 3pi/5) = cos(pi/5)cos(3pi/5) - sin(pi/5)sin(3pi/5)
cos(4pi/5) = cos(pi/5)cos(3pi/5) - sin(pi/5)sin(3pi/5)

Так как cos(4pi/5) = -cos(pi/5), то
-cos(pi/5) = cos(pi/5)cos(3pi/5) - sin(pi/5)sin(3pi/5)

Далее, используем формулу косинуса для угла 4pi/5:
cos(4pi/5) = cos(pi - pi/5) = cos(pi/5)

Подставляем это обратно в уравнение:
-cos(pi/5) = cos(pi/5)cos(3pi/5) - sin(pi/5)sin(3pi/5)

Делим все на -1:
cos(pi/5) = -cos(pi/5)cos(3pi/5) + sin(pi/5)sin(3pi/5)

Теперь рассмотрим уравнение sin(a)sin(b) = cos(a)cos(pi/2 - b):
cos(pi/5) = -cos(pi/5)cos(3pi/5) + cos(pi/5)cos(pi/2 - 3pi/5)

Сокращаем cos(pi/5) из обоих частей уравнения:
1 = -cos(3pi/5) + cos(2pi/5)
Используем формулу косинуса для угла 2pi/5:
1/2 = -cos(3pi/5) + cos(2pi/5)

Таким образом, доказано равенство cos(pi/5) + cos(3pi/5) = 1/2.