Жена выпивает бочку воды за 10 дней вместе с мужем. Если муж выпивает бочку воды за 14 дней, значит, его доля в расходе воды равна $\frac{1}{14}$ бочки воды за день. Следовательно, жена выпивает воду со скоростью $\frac{1}{14} + \frac{1}{10} = \frac{12}{70}$ бочки воды в день. Таким образом, она выпьет бочку воды за $\frac{70}{12} \approx 5.83$ дней.

Ответ: Жена выпьет бочку воды за примерно 5.83 дня.