Для нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции f(x)=x^3-3x-1 нужно найти производную данной функции и найти места, где производная равна нулю или не существует.

f'(x) = 3x^2 - 3

Для нахождения значений x, где производная равна 0, приравняем f'(x) к нулю:

3x^2 - 3 = 0
3x^2 = 3
x^2 = 1
x = ±1

Таким образом, производная равна 0 при x = 1 и x = -1.

Теперь рассмотрим значения производной в окрестностях точек x = 1 и x = -1:

При x < -1: f'(x) > 0 (положительная производная, функция возрастает)
При -1 < x < 1: f'(x) < 0 (отрицательная производная, функция убывает)
При x > 1: f'(x) > 0 (положительная производная, функция снова возрастает)

Таким образом, промежуток убывания функции f(x) = x^3-3x-1 - это (-∞,-1), а промежутки возрастания - это (-1,1) и (1,∞).

Теперь найдем экстремумы функции. Для этого нужно проверить значения функции в найденных точках экстремума и на концах промежутков.

f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 1 = -1 + 3 - 1 = 1
f(1) = 1^3 - 31 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3

Таким образом, точка (-1,1) является локальным минимумом, а точка (1,-3) - локальным максимумом функции f(x)=x^3-3x-1.