Для доказательства данного тождества, давайте разложим каждое из слагаемых в его компоненты:

a) Слева: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x)
б) tg^2(x) = sin^2(x) / cos^2(x) = sin^2(x) / (1 - sin^2(x))

Справа: -tg^2(x) = -sin^2(x) / (1 - sin^2(x))

Суммируем компоненты слева:
cos(2x) + tg^2(x) cos(2x) - 1
= (1 - 2sin^2(x)) + (sin^2(x) / (1 - sin^2(x))) (1 - 2sin^2(x)) - 1
= 1 - 2sin^2(x) + [sin^2(x) - 2sin^4(x)] / (1 - sin^2(x)) - 1
= -2sin^2(x) + sin^2(x) - 2sin^4(x) / (1 - sin^2(x))
= -sin^2(x) - 2sin^4(x) / (1 - sin^2(x))
= -sin^2(x) (1 + 2sin^2(x)) / (1 - sin^2(x))
= -(1 - cos^2(x)) (1 + 2sin^2(x)) / (1 - sin^2(x))
= -(1 - cos^2(x))(1 + 2sin^2(x)) / cos^2(x)

Сравнивая справа и слева, видим, что действительно выполняется тождество:
-cos^2(x)(1 + 2sin^2(x)) / cos^2(x)
= -(1 + 2sin^2(x))
= -sin^2(x)
= -tg^2(x)