Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

По условию, из прямоугольного треугольника известны два катета - АН = 5 см и CN = 4 см.

Применим теорему Пифагора:
AB^2 = AN^2 + BN^2

Гипотенуза AB равна сумме квадратов катетов:
AB^2 = AN^2 + CN^2
AB^2 = 5^2 + 4^2
AB^2 = 25 + 16
AB^2 = 41

Теперь найдем гипотенузу AB:
AB = √41 ≈ 6.4 см

Так как CН делит гипотенузу AB пополам, значит, ВН = 6.4 / 2 = 3.2 см.

Теперь, найдем катет ВС:
BC^2 = BN^2 + CN^2
BC^2 = 3.2^2 + 4^2
BC^2 = 10.24 + 16
BC^2 = 26.24

Таким образом, ВС = √26.24 ≈ 5.12 см.

Итак, катет ВС равен около 5.12 см.