Пусть исходная дробь равна $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ - положительные целые числа.
По условию, если увеличить числитель и знаменатель на 12, получим дробь $\frac{a+12}{b+12}$, при этом
$$\frac{a+12}{b+12}=3\cdot \frac{a}{b}.$$

Раскроем правую часть последнего равенства:
$$3\cdot \frac{a}{b}=\frac{3a}{b}.$$

Теперь подставим это обратно в наше равенство:
$$\frac{a+12}{b+12}=\frac{3a}{b}.$$

Получаем уравнение:
$$b(a+12)=3a(b+12).$$

Раскроем скобки:
$$ab+12b=3ab+36a.$$

Преобразуем это уравнение:
$$36a-12b=2ab.$$

Так как дробь $\frac{a}{b}$ должна быть несократимой, $a$ и $b$ должны быть взаимно простыми.

Теперь рассмотрим обратные дроби к найденным. Обратная дробь к $\frac{a}{b}$ равна $\frac{b}{a}$.
Таким образом, сумма обратных дробей будет равна:
$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...=\frac{1}{a_1{b}_1}+\frac{1}{a_1{b}_2}+...+\frac{1}{a_2{b}_1}+...$$

Сумму таких дробей можно посчитать, но в данном случае это может быть сложной задачей.

Покажем как это сделать только для начальной дроби $\frac{a}{b}$:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$

Следовательно:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3a+3b}{ab}$

Это складывается в общей форме:
$$S=\frac{3}{ab}(a+b)$$

Ответ: $S=\frac{3}{ab}(a+b)$.