Данное уравнение содержит модуль, поэтому рассмотрим два случая:

1) Когда (tgx \geq 0):
Так как (tgx) положительный, то модуль не играет роли, и уравнение принимает вид:
[4tgx + 3tgx = sin2x tgx - tgx]
[7tgx = sin2x tgx - tgx]
[7tgx = tgx(sin2x - 1)]
[tgx = 0, \dfrac{\pi}{4}]

2) Когда (tgx < 0):
Так как (tgx) отрицательный, то (|tgx| = -tgx), и уравнение принимает вид:
[4tgx + 3(-tgx) = sin2x (-tgx) - (-tgx)]
[tgx = sin2x tgx + tgx]
[tgx(1 - sin2x) = tgx]
[1 - sin2x = 1]
[sin2x = 0]
[2x = \pi n, n \in Z]
[x = \dfrac{\pi n}{2}, n \in Z]

Таким образом, решениями уравнения являются (x = \dfrac{\pi n}{2}, n \in Z) и (x = 0, \dfrac{\pi}{4}).