Предположим, что на доске написано n положительных чисел.

Среднее арифметическое трёх самых больших чисел равно 20, значит их сумма равна 60. Пусть эти числа x, y и z (x >= y >= z). Тогда x + y + z = 60.

Среднее арифметическое двух самых маленьких чисел равно 13, значит их сумма равна 26. Пусть эти числа a и b (a <= b). Тогда a + b = 26.

Так как сумма всех чисел равна 100, то 60 + 26 + a + b = 100 => a + b = 14.

Из уравнений a + b = 14 и a + b = 26 следует, что a = 4 и b = 10.

Теперь мы знаем, что на доске написаны числа 4, 10, x, y и z и их сумма равна 100. Подставим известные значения:

4 + 10 + x + y + z = 100,
14 + x + y + z = 100,
x + y + z = 86.

Таким образом, сумма трёх самых больших чисел равна 60, а сумма всех чисел, кроме самых маленьких - 86. Отсюда замечаем, что 86 + 26 = 112 > 100.

Значит ошибка в решении. Попробуем другой подход.

Теперь вместо двух самых маленьких чисел будем использовать два самых больших числа. Пусть они равны x и y.

Тогда имеем следующее уравнение:

x + y = 60.

Теперь у нас все числа, кроме x и y, в сумме дают 100 - 60 = 40.

Среднее арифметическое двух самых маленьких чисел равно 13, значит их сумма равна 26. Пусть эти числа a и b (a <= b). Тогда a + b = 26.

Так как a и b в сумме с x и y дают 40, то сумма чисел a, b, x и y равна 40.

Подставляем a = 4 и b = 10:

4 + 10 + x + y = 40,
14 + x + y = 40,
x + y = 26.

Теперь решаем систему уравнений:

{
x + y = 26,
x + y = 60
}

Сумма чисел x и y равна 26, а сумма трёх самых больших чисел равна 60.

Теперь мы убеждены, что число написанных на доске чисел равно 5.