Польская геометрия 81-ого уровня Выпуклый четырехугольник ABCD удовлетворяет условию AB*CD=BC*DA. Внутри четырехугольника выбирается точка X так, что ∠XAB=∠XCD и ∠XBC=∠XDA. Как доказать, что ∠AXB+∠CXD=180°?
Польская геометрия 81-ого уровня Выпуклый четырехугольник ABCD удовлетворяет условию AB*CD=BC*DA. Внутри четырехугольника выбирается точка X так, что ∠XAB=∠XCD и ∠XBC=∠XDA. Как доказать, что ∠AXB+∠CXD=180°?
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Доказательство:
Поскольку ABCD=BCDA, то четырехугольник ABCD является кососимметричным (по теореме о векторном произведении). Это значит, что диагонали AC и BD пересекаются в точке O, такой, что AO=CO и BO=DO.
Теперь рассмотрим треугольники AXB и DXC. Из условия задачи мы знаем, что ∠XAB=∠XCD и ∠XBC=∠XDA. Также, мы знаем, что ∠AXB=∠DXC (по теореме об углах между параллельными прямыми).
Поскольку AO=CO и BO=DO, то треугольники XAB и XDC равны по сторонам и углам (по теореме о треугольниках). Следовательно, ∠AXB=∠CXD.
Таким образом, мы доказали, что ∠AXB+∠CXD=180°.