Для того чтобы в каждом четырехзначном числе содержалась хотя бы одна цифра 1, первая цифра не может быть равна нулю. Значит, у нас есть 7 вариантов для первой цифры (1,2,3,4,5,6,7), 8 вариантов для второй цифры (0,1,2,3,4,5,6,7), 8 вариантов для третьей цифры и 8 вариантов для четвертой цифры.

Таким образом, общее количество четырехзначных чисел, состоящих только из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7 и содержащих хотя бы одну цифру 1, равно:
7 8 8 * 8 = 3584.

Ответ: 3584 четырехзначных чисел.