Обозначим скорость катера как ( x ) км/ч.

Тогда время, за которое катер прошёл 12 км против течения, равно (\frac{12}{x-3}) часов, а время, за которое катер прошёл 5 км по течению, равно (\frac{5}{x+3}) часов.

Также известно, что время, за которое катер проходит 18 км по озеру, равно (\frac{18}{x}) часов.

Из условия задачи получаем уравнение:

[\frac{12}{x-3} + \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x}]

Упростим его:

[12(x+3) + 5(x-3) = 18(x-3)(x+3)]

[12x + 36 + 5x - 15 = 18(x^2 - 9)]

[17x + 21 = 18x^2 - 162]

[18x^2 -17x - 183 = 0]

Решив это квадратное уравнение, находим два корня: (x = -3) и (x = \frac{11}{6}).

Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна ( x = \frac{11}{6} ) км/ч.