Для начала найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 784:

1 784
2 392
4 196
7 112
8 98
14 56
16 49
28 28

Теперь проверим четность и делимость на 7 для сумм каждой пары:

1 + 784 = 785 (нечетное, не делится на 7)
2 + 392 = 394 (четное, не делится на 7)
4 + 196 = 200 (четное, не делится на 7)
7 + 112 = 119 (нечетное, делится на 7)
8 + 98 = 106 (четное, не делится на 7)
14 + 56 = 70 (четное, делится на 7)
16 + 49 = 65 (нечетное, не делится на 7)
28 + 28 = 56 (четное, не делится на 7)

Таким образом, из всех пар натуральных чисел только 7 и 112 удовлетворяют условиям. Следовательно, большее из этих чисел - 112, меньшее - 7, их разность равна:

112 - 7 = 105.

Ответ: 105.