1) x^2 - 8x + 67 < 0

Данное неравенство не имеет действительных решений, так как дискриминант квадратного уравнения D = (-8)^2 - 4167 = 64 - 268 = -204, что является отрицательным числом.

2) x^2 - 8x - 67 > 0

Решим данное неравенство:

x^2 - 8x - 67 > 0
(x - 11)(x + 6) > 0

Точки разбиения: x = -6, x = 11

1) Проверяем интервал (-бесконечность, -6):
(-)(-) > 0 - ложь

2) Проверяем интервал (-6, 11):
(-)(+) > 0 - истина

3) Проверяем интервал (11, +бесконечность):
(+)(+) > 0 - истина

Ответ: x < -6 или x > 11

3) x^2 - 8x - 67 < 0

Решим данное неравенство:

x^2 - 8x - 67 < 0
(x - 11)(x + 6) < 0

1) Проверяем интервал (-бесконечность, -6):
(-)(-) < 0 - ложь

2) Проверяем интервал (-6, 11):
(-)(+) < 0 - истина

3) Проверяем интервал (11, +бесконечность):
(+)(+) < 0 - ложь

Ответ: -6 < x < 11

4) x^2 - 8x + 67 > 0

Решим данное неравенство:

x^2 - 8x + 67 > 0

Данное неравенство не имеет действительных решений, так как дискриминант квадратного уравнения D = (-8)^2 - 4167 = 64 - 268 = -204, что является отрицательным числом.

Итак, мы рассмотрели все варианты возможных неравенств и их решений.