Для доказательства данного утверждения, можно воспользоваться методом доказательства от противного.

Предположим, что число $10^{316}+5$ делится без остатка на $10^{18}-1$, то есть существует такое целое число $k$, что:
$$10^{316}+5=k\cdot (10^{18}-1)$$

Разделим левую и правую части на $10^{1}8$:
$$\frac{10^{316}+5}{10^{18}}=k-\frac{1}{10^{18}}$$

Заметим, что $\frac{1}{10^{18}}$ является дробной частью, и при делении числа на $10^{18}$ она будет отброшена. Таким образом, левая часть не будет целым числом, в то время как правая часть $k$ будет целым числом. Получили противоречие, что и требовалось доказать.

Следовательно, число $10^{316}+5$ не делится без остатка на $10^{18}-1$.