Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а его гипотенуза равна c. Тогда периметр треугольника равен a + b + c.

Так как высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных, периметры которых равны 12 и 16, то:

a + b + c = 12
a + b + c = 16

Вычтем из второго уравнения первое:

16 - 12 = c - c

4 = c

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 4.

Теперь найдем катеты используя треугольную теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = 4^2
a^2 + b^2 = 16

Теперь рассмотрим подобные треугольники:

Если периметр меньшего треугольника равен 12, то каждый его катет равен 6.
Если периметр большего треугольника равен 16, то каждый его катет равен 8.

Таким образом, периметр исходного прямоугольного треугольника равен:

a + b + c = 6 + 8 + 4 = 18

Ответ: периметр данного треугольника равен 18.