Докажем это равенство для произвольных действительных чисел x и y.

Преобразуем левую часть неравенства:
(x^3 + y^3)^2 - (x^2 + y^2)^3 + 3x^2y^2(x + y)^2
= (x^3 + y^3)^2 - (x^2 + y^2)^3 + 3x^2y^2(x^2 + 2xy + y^2)
= (x^6 + 2x^3y^3 + y^6) - (x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6) + 3x^4y^2 + 6x^3y^3 + 3x^2y^4
= 2x^3y^3 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + 6x^3y^3
= 8x^3y^3

Таким образом, справедливость данного неравенства доказана.