Для доказательства данного утверждения мы будем использовать метод математической индукции.

База индукции:
Для n=1: 6^21 + 19^1 - 22^1 = 36 + 19 - 4 = 51, что не кратно 17.
То есть, база индукции не выполняется.

Предположение индукции:
Пусть утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е. 6^2k + 19^k - 2*2^k кратно 17.

Шаг индукции:
Докажем, что из предположения индукции следует верность утверждения для n=k+1.

Для n=k+1 имеем:
6^2(k+1) + 19^(k+1) - 22^(k+1) = 366^2k + 1919^k - 42^k = 36(6^2k + 19^k - 22^k) + 1719^k.

Из предположения индукции следует, что 6^2k + 19^k - 22^k кратно 17, т.е. есть некоторое целое число m, такое что 6^2k + 19^k - 22^k = 17m.

Тогда выражение 36(6^2k + 19^k - 22^k) + 1719^k = 3617m + 1719^k = 17(36m + 19^k), что является кратным 17.

Таким образом, утверждение верно для n=k+1, что завершает доказательство по индукции.

Следовательно, мы доказали, что выражение 6^2n + 19^n - 2*2^n кратно 17 для всех натуральных n.