База индукции:
При n = 1 левая часть равна 1$3\ast 1+1$= 4 и правая часть равна 1$1+1$^2 = 4, значит утверждение верно для n = 1.

Предположение индукции:
Пусть утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е. 14+27+310 + … + k$3k+1$ = k $k+1$^2.

Индукционный переход:
Докажем, что утверждение верно и для n = k + 1.
14+27+310 + … + k$3k+1$ + $k+1$*$3(k+1)+1$ = k$k+1$^2 + $k+1$$3k+3+1$ = k$k+1$^2 + $k+1$$3k+4$ = $k+1$$$k(k+1)+3k+4$$ = $k+1$$k^2+k+3k+4$ = $k+1$$k^2+4k+4$ = $k+1$$k+2$^2.

Таким образом, утверждение доказано методом математической индукции для любого натурального числа n.