Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки:

(x^2 + 4x + 1)(x^2 + 4x + 5) = 0

x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 4x^3 + 16x^2 + 20x + x^2 + 4x + 5 = 0

x^4 + 8x^3 + 22x^2 + 24x + 5 = 0

Сгруппируем слагаемые:

(x^4 + 8x^3) + (22x^2 + 24x) + 5 = 0

x^3(x + 8) + 2x(11x + 12) + 5 = 0

Получаем два возможных варианта уравнения:

1) x^3 + 2x + 5 = 0
2) x + 8 + 11x + 12 + 5 = 0

Решим каждое уравнение:

1) x^3 + 2x + 5 = 0
Данное уравнение не имеет рациональных корней.

2) x + 8 + 11x + 12 + 5 = 0
12x + 25 = 0
12x = -25
x = -25/12

Итак, корни уравнения (x^2+4x+1)(x^2+4x+5) = 0:
x = -25/12.