Остаток от деления числа 485638 на 5 равен 3.

Последняя цифра числа 317+425 равна 2.

Разность чисел 915 и 327 равна 588, которая делится на 26 без остатка.

Найдем общий делитель для чисел 8n+1 и 5n+2:
8n+1 ≡ 0 (mod m)
5n+2 ≡ 0 (mod m)
Из первого уравнения получаем, что n ≡ 7 (mod m), а из второго - n ≡ 4 (mod m).
Следовательно, общим делителем будет m=3.

Пусть уравнение 26x+39y=15 имеет целочисленное решение. Заметим, что левая часть является кратной 13, а правая часть не делится на 13. Таким образом, уравнение не имеет целочисленных решений.

Разложим уравнение x^2-y^2=230 в произведение:
(x-y)(x+y)=230
У числа 230 есть четное количество делителей, но так как их пары симметричны относительно 0, получаем, что уравнение не имеет целочисленных решений.

Остаток от деления числа 728362 на 4 равен 2.

Последняя цифра числа 963+239 равна 2.

Разность чисел 236 и 416 равна -180, которая делится на 17 без остатка.

Найдем общий делитель для чисел 6n+5 и 7n+5:
6n+5 ≡ 0 (mod m)
7n+5 ≡ 0 (mod m)
Из первого уравнения получаем, что n ≡ 1 (mod m), а из второго - n ≡ -2 (mod m).
Следовательно, общим делителем будет m=3.

Пусть уравнение 36x+45y=11 имеет целочисленное решение. Заметим, что левая часть является кратной 9, а правая часть не делится на 9. Таким образом, уравнение не имеет целочисленных решений.

Для любых целых x и y:
а = (x-y)^2 (x+y+1)^2 = (x^2 - 2xy + y^2) (x^2 + 2xy + 2x + y^2 + y)
= x^4 + 2x^3y - x^2y^2 + 2x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + x^2 + 2xy + y^2
Очевидно, что каждый член а является четным числом, так как он представляет собой сумму четного числа целых чисел. Следовательно, а делится на 4 при любых целых x и y.