Пусть угол A прямого треугольника ABC, где C - вершина прямого угла.
Треугольник ABC - прямоугольный, следовательно, sin(A) = h / AC = h / c, где h - высота, c - гипотенуза.
Из условия задачи угол A делится на два угла в отношении 1:2, пусть они равны x и 2x.
Тогда по теореме о синусе для треугольника ABC:
sin(A) = sin(x) c / AC = sin(2x) c / BC.
Откуда h / c = sin(x) c / AC = sin(2x) c / BC.
Так как sin(2x) = 2sin(x) cos(x), то
h / c = sin(x) c / AC = 2sin(x) cos(x) c / BC,
h / c = sin(x) / AC = 2cos(x) / BC,
h / c = 2cos(x) / BC,
h = 2cos(x) c,
h = c 2(1 - sin^2(x))^0.5.
Так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1, то sin^2(x) = 1 - cos^2(x) и
h = c 2(1 - (1 - cos^2(x)))^0.5,
h = c (2 cos^2(x))^0.5,
h = c (2(1 - sin^2(x)))^0.5,
h = c (2sin^2(x))^0.5,
h = c 2 sin(x) 0.5,
h = c * sin(x).
Таким образом, высота треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу в отношении 1:3.