Для нахождения 12-го члена арифметической прогрессии сначала нужно найти формулу общего члена данной прогрессии.

У нас дана формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: Sn = 2n² + 3n

Формула общего члена арифметической прогрессии обычно записывается как: An = a1 + (n - 1)d, где a1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

Для того, чтобы найти формулу общего члена прогрессии, нам нужно выразить An через н: An = Sn - Sn-1

Substituting the formula for the sum of the first n terms into the above equation, we get:

2n² + 3n = n - (n-1) = n - (n - 1)² - 3(n-1)
2n² + 3n = n - n + 1 - n² + 2n - 3
2n² + 3n = 1 - n² + 2n - 3
3n = -n² + 2n - 2
n² - n - 2 = 0

Solving the above quadratic equation, we get n = -1 or n = 2

Since the number of terms in a series cannot be negative, n = 2 is the correct answer.

Now substituting n = 2 into the formula for the sum of the first n terms, we get:

S2 = 2(2)² + 3(2) = 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14

Now that we have found the sum of the first 2 terms, we can find the first term of the arithmetic progression by substituting n = 1 into the formula:

S1 = 2(1)² + 3(1) = 2 + 3 = 5

Now, we can use the formula for the general term of an arithmetic progression to find the 12th term:

A12 = 5 + (12 - 1)d

Given that the sum of the first 2 terms is 14:

14 = 2(2) + 2(2) + d
14 = 4 + 4 + d
10 = d

Therefore, the 12th term of the arithmetic progression is:

A12 = 5 + 11(10) = 5 + 110 = 115

Итак, 12-й член арифметической прогрессии равен 115. Надеюсь, объяснение было понятным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!