Для нахождения производной функции ( y = \frac{x}{1 + x^2} ) используем правило дифференцирования частного функций:

[ (u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

Где u = x и v = 1 + x^2.

Находим производные u' и v':

[ u' = 1 ]
[ v' = 0 + 2x = 2x ]

Теперь можем найти производную функции y:

[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1(1 + x^2) - x2x}{(1 + x^2)^2} ]
[ y' = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} ]
[ y' = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} ]

Таким образом, производная функции ( y = \frac{x}{1 + x^2} ) равна ( y' = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} ).